Question

如图，点A（2，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，过A作AB⊥y轴于B，在反比例函数图象上找一点P，使PH⊥AB于H，若P、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，则P点的坐标是

 

．

Answer 1

分析：根据点A（2，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，首先得出反比例函数的解析式，进而求出AB，BO的比值，进而得出△PHA直角边之间比值关系分别求出即可．

解答：解：∵点A（2，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴xy=k=1×2=2，
∴y=

2

x

，

AB

BO

=2，
∵在反比例函数图象上找一点P，使PH⊥AB于H，
若P、H、A三点组成的三角形与△AOB相似，
∴

PH

AH

=2，或

AH

PH

=2，
假设P点横坐标为：x，则纵坐标为：

2

x

，
∴AH=x-2，HP₁=1-

2

x

，
∴当

AH

PH

=2，
∴

x-2

1- 2 x

=2，
解得：x₁=x₂=2（不合题意舍去），
当

PH

AH

=2，
∴

1- 2 x

x-2

=2，
解得：x₁=0.5，x₂=2（不合题意舍去），
∴y₁=4，
∴P₁的坐标为：（0.5，4），
同理可得出P₂，P₃点的坐标分别为：P₂（-2，-1），P₃（-0.5，-4）．
故答案为：（0.5，4），P₂（-2，-1），P₃（-0.5，-4）．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及相似三角形的性质，根据已知得出△PHA直角边之间比值关系是解题关键．