Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

Answer 1

分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解，全在内部时，利用三角形相似得

x

5

=

DE

6

，求出DE，再求重叠部分正方形的面积，不全在内部时先求出长DE，再利用DG∥AH，求出宽．
（4）当△BDG是等腰三角形时，分BD=DG，BD=BG，DG=BG三种情况写出AD的长．

解答：解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=

1

2

BC=3，
∴AH=

AB2-BH2

=

52-32

=4，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

×6×4=12．

（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴

a

6

=

4-a

4

，
∴a=

12

5

．

（3）当DE=

12

5

时，由△ADE∽△ABC得

AD

AB

=

DE

BC

，解得AD=2，
当0＜x≤2时，正方形全部在三角形内部，由

AD

AB

=

DE

BC

得：

x

5

=

DE

6

，DE=

6

5

x，
y=（

6

5

x）²=

36

25

x²，
当2＜x＜5时，y=

6

5

x•

4

5

（5-x）=

24

5

x-

24

25

x²．

（4）当△BDG是等腰三角形时，设AD=x，当BD=DG，
此时正方形不全部在三角形内部，
∵BD=5-x，
由（3）可知DG=DE=

6

5

x，
由此即可求出AD=

25

11

；
当DB=BG时，求出AD=

20

7

；
当DG=BG，求出AD=

125

73

；
故AD=

125

73

，

25

11

，

20

7

．

点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识，解题时，注意形数结合，分类讨论．