Question

如图4­2­43(1)，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

(1)求证：BE＝CE；

(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图4­2­43(2)，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.

　　　

Answer 1

证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴∠BAE＝∠CAE.

在△ABE和△ACE中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE(SAS)．

∴BE＝CE.

(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF.

由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF.

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF.