Question

如图所示，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，点E在BC边上，AB=BE，AD=DC，求证：∠A与∠C互补．

Answer 1

证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD．
又∵AB=EB，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD．
∴∠A=∠BED，AD=ED．
又∵AD=DC．
∴DE=DC，
∴∠C=∠DEC．
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠A+∠C=180°，
即∠A与∠C互补．
分析：利用BD是角平分线，易得∠ABD=∠EBD，而AB=EB，BD=BD，利用SAS可证△ABD≌△EBD，于是∠A=∠BED，AD=ED，而AD=DC，那么DC=DE，就有∠DEC=∠C，由于∠BED+∠DEC=180°，等量代换，就有∠A+∠C=180°，即∠A、∠C互补．
点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换等知识．等量代换是做题时常常用到的方法．