Question

已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．
求：（1）求∠CDB的度数；
（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠CBA=∠A=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30°，

（2）

在△ABD中，∵∠ADB=180°-∠A-∠ABD=90°．
∴BD=AD•tanA=2tan60°=2．
过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∴DH=AD•sinA=2sin60°=．
∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30°，∴DC=BC=AD=2．
∵AB=2AD=4，
∴S_梯形ABCD=（AB+CD）DH=×（4+2）×=3．
分析：（1）由平行线及角平分线的性质可得∠CDB=∠ABD=∠ABC，根据等腰梯形两底角相等的性质可得∠CDB的具体度数；
（2）利用30°的正切值可得BD的长度，也就求得了AB的长度，利用60°正弦值可得梯形的高，进而利用梯形的面积公式可得梯形的面积．
点评：综合考查了解直角三角形的知识及梯形的性质；利用或构造特殊的直角三角形是解决本题的关键．