题目内容
如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了
秒。
【小题1】请直接写出PN的长 ；（用含
的代数式表示）【小题2】若0秒≤
≤3秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，并求S的最大值。【小题3】若0秒≤
≤3秒，△MPA能否与△PCN相似？若能，试求出相似时的对应值；若不能，试说明理由。
【小题1】
；【小题2】延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝
，则
。依题意，可得：
∵0≤
≤1.5 ∴当
时，S有最大值，S最大值＝
。…………………4分【小题3】能相似
共有两种情况，以下分类说明：
①
…………………2分②3或
…………………2分综上所述，当
，或
，或
时，△MPA与△NPA相似解析:（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．
（3）本题要分三种情况：
①MP=PA，那么AQ=BN=
AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不难得出AP=
BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值． 
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