题目内容
已知二次函数y1=ax2+bx+1（a＞0），一次函数y2=x．
（1）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4，此时设函数y1的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1．
（1）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4，此时设函数y1的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1．
（1）由题意可知一元二次方程ax2+bx+1=x有两个相等的根
∴△=（b-1）2-4a=0
a与b之间的关系便是（b-1）2=4a；
（2）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2
则 ax2+（b-1）x+1=0
有且仅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）2=4a，
∴（b-1）2+2b-1=0
∴b2=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=
，
故a=
，b=0；
（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4
则 ax2+（b-1）x+1=0 有两不同实根x1，x2，且x1＜2＜x2＜4，a＞0
故x=2时 ax2+（b-1）x+1＜0，x=4时 ax2+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0 ①
16a+4b-3＞0 ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴
＜1
∴-
＞-1
∴y1的对称轴为x=x0=-
∴x0＞-1．
∴△=（b-1）2-4a=0
a与b之间的关系便是（b-1）2=4a；
（2）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2
则 ax2+（b-1）x+1=0
有且仅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）2=4a，
∴（b-1）2+2b-1=0
∴b2=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=
| 1 |
| 4 |
故a=
| 1 |
| 4 |
（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4
则 ax2+（b-1）x+1=0 有两不同实根x1，x2，且x1＜2＜x2＜4，a＞0
故x=2时 ax2+（b-1）x+1＜0，x=4时 ax2+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0 ①
16a+4b-3＞0 ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴
| b |
| 2a |
∴-
| b |
| 2a |
∴y1的对称轴为x=x0=-
| b |
| 2a |
∴x0＞-1．
练习册系列答案
举一反三单元同步过关卷系列答案
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