Question

【题目】如图，在直角坐标系中，，，是线段上靠近点的三等分点．

（1）求点的坐标；

（2）若点是轴上的一动点，连接、，当的值最小时，求出的坐标及的最小值；

（3）如图2，过点作，交于点，再将绕点作顺时针方向旋转，旋转角度为，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线的交点为，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，M；（3）、、、

【解析】

（1）过点作轴于点，证得，然后由相似三角形的性质求得，从而求得GB，HG的长度，使问题得解；

（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小即的长度，根据勾股定理求长度，然后利用待定系数法求直线的函数解析式，从而求与y轴交点坐标，使问题得解；

（3）依据△OST为等腰三角形，分4种情况画出图形，即可得到旋转角的度数．

解：（1）如图，过点作轴于点．

因为轴

∴HG∥OA

∴，

又∵是线段上靠近点的三等分点

∴，

∵，，

∴，

∴

∴

（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点．

则为，

此时

∴的最小值为；

设直线：，把，B（3，0）代入得：

，解得：

∴直线为

当时，

∴为

（3）如图，当OT=OS时，α=75°-30°=45°；

如图，当OT=TS时，α=90°；

如图，当OT=OS时，α=90°+60°-15°=135°；

如图，当ST=OS时，α=180°；

综上所述，α的值为45°，90°，135°，180°．