Question

（2012•崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求：
（1）求∠C的余弦值；
（2）如果以点A为圆心的圆与线段BC有两个公共点，求圆A的半径R的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3

3

；利用Rt△ACH中，AH=3

3

，CH=8-3=5，求出AC，进而求出∠C的余弦值；
（2）根据直线与圆的位置关系可知圆A的半径R的取值范围为：AH＜R≤AB．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3

3

，
∵BC=8，
∴CH=5． 
在Rt△ACH中，∵AH=3

3

，CH=5，
∴AC=2

13

．
∴cosC=

CH

AC

=

5

2 13

=

5 13

26

．

（2）∵AB＜AC，AH为A到BC的距离，
∴以点A为圆心的圆与线段BC有两个公共点，圆A的半径R的取值范围为：3

3

＜R≤6．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．同时考查了直线与圆的位置关系：①直线l和⊙O相交?d＜r；②直线l和⊙O相切?d=r；③直线l和⊙O相离?d＞r．