Question

如图?ABCD，以D为圆心，AD为半径的圆交AB，CD于E、F，延长AD交⊙D于G，
（1）求证：弧EF=弧FG．
（2）若弧AE的度数为70°，求∠C的度数．

Answer 1

分析：（1）证明：连接DE，先在△ADE中，根据等边对等角得出∠A=∠AED，再由平行四边形的对边平行得出，AB∥DC，根据平行线的性质得出∠CDE=∠AED，∠GDC=∠A，则∠CDE=∠GDC，然后根据圆心角、弧、弦的关系定理，得出弧EF=弧FG；
（2）先由弧AE的度数70°，得出∠ADE=70°，然后在△ADE中，根据等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠AED=55°，再由平行四边形的对角相等，即可得出∠C=∠A=55°．

解答：（1）证明：连接DE．
∵D为圆心，∴AD=DE，
∴∠A=∠AED，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDE=∠AED，∠GDC=∠DAE，
∴∠CDE=∠GDC，（5分）
∴弧EF=弧FG；

（2）解：∵弧AE的度数70°，
∴∠ADE=70°．
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=55°．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，难度适中．