Question

【题目】已知直线l1∥l2∥l3 ， 等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1 ， l2 ， l3上，若∠ACB=90°，l1 ， l2的距离为1，l2 ， l3的距离为3，求：
（1）线段AB的长；
（2） 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，

则∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，

∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，

∴∠MBC=∠ACN，

在△BMC和△CNA中

∴△BMC≌△CNA，

∴BM=CN，AN=CM，

∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，

∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，

在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC= =5，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= =5

（2）解：∵直线l2∥直线l3，

∴∠DBC=∠BCM，

∵∠BCD=∠BMC=90°，

∴△BCD∽△CMB，

∴ = ，

∴ = ，

∴BD= ，

∵AB=5 ，

∴ = =

【解析】（1）过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，根据全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根据全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根据勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；（2）根据平行线性质得出∠DBC=∠BCM，根据相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．