题目内容
已知:
,
,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧。
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1.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
2.(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小。
1.(1)①如图11,作AE⊥PB于点E.
∵ △APE中,∠APE=45°,
,
∴
,
.
∵
,
∴
.
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,
∴
.…………1分
②解法一:如图12,因为四边形ABCD为正方形,可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△
,
可得△
≌△
,
,
.
∴
=90°,
=45°,
=90°.
∴
.分
∴
.…………2分
解法二:如图13,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,设DA的 延长线交PB于G.
在Rt△AEG中,可得
,
,
.
在Rt△PFG中,可得
,
.
在Rt△PDF中,可得 ![]()
.
2.(2)如图14所示,将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△
, PD 的最大值即为
的最大值.
∵ △
中,
,
,
,
且P、D两点落在直线AB的两侧,
∴ 当
三点共线时,
取得最大值(见图15).
此时
,即
的最大值为6. …………4分
此时∠APB=180°-
=135°. …………5分
解析:略