Question

如图，⊙O₁和⊙O₂外切于M，它们的两条外公切线的夹角为60°，连心线与⊙O₁与⊙O₂分别交于A、B（异于M点），过B作直线交⊙O₁于C、D两点，求：cot∠BAC•cot∠BAD的值．

Answer 1

解：如图，
由题设可得O₁E⊥PE，O₁F⊥PF，O₁E=O₁F，
∴O₁在∠EPF的平分线上，同理O₂在∠EPF的平分线上，
∴PA为∠EPF的平分线，
∵O₂Q∥PE，∴∠QO₂O₁=∠EPO₁=30°，
∴O₁Q=O₁O₂，
设大、小圆半径为R、r，则O₁Q=R-r，O₁O₂=R+r，
∴R-r=（R+r），∴R=3r，
∵∠ACM=∠ADM=90°，
∴cot∠BAC•cot∠BAD=•，
由△BAC∽△BDM，△BAD∽△BCM可得，
=，=，
∴cot∠BAC•cot∠BAD=•=•===4．
分析：可过O₁、O₂作EF边的垂线，可得出PA为∠EPF的平分线，再过O₂作PE的平行线，可得O₁Q=O₁O₂，进而求出大、小圆半径之间的关系，再由相似三角形对应边成比例，通过线段之间的转化，即可求解．
点评：本题主要考查了圆与圆之间的位置关系以及相似三角形的判定及性质问题，能够掌握并熟练运用．