Question

四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=

1

2

mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=

 

．（用含m、n、θ的式子表示）

Answer 1

分析：设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC，由此可以求出四边形的面积；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

BD•（AE+CF ），由此也可以求出面积．

解答：解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

m•OC+

1

2

m•OA=

1

2

mn；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夹角为θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF
=

1

2

BD•（AE+CF）=

1

2

mnsinθ．
故填空答案：

1

2

mnsinθ．

点评：此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．