Question

已知直线y＝kx＋6（k<0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

　　（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

　　①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

　　②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

　　（2）当时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)²＋n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（2，4），Q（4，0）

　　②由题意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）

　　分两种情况讨论：

　　情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．

　　∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5

　　情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），

∴t＝2，∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．

　　（2）①由题意得：C（2t，），

　　∴以C为顶点的抛物线解析式是，

　　由

　　解得

　　过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°．

　　∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

　　∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，

　　DE＝，∴CD＝．

　　②∵，CD边上的高＝，

　　∴S_△COD为定值．要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，

　　∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，

　　又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

　　

　　∴当t为秒时，h的值最大．