Question

5．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O₁，半圆O₂，…，半圆O_n与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切，设半圆O₁，半圆O₂，…，半圆O_n的半径分别是r₁，r₂，…，r_n，则当r₁=1时，r₂₀₁₅=3²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 过C₁、C₂、C₃、…、C_n作直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的垂线，垂足分别为A₁、A₂、A₃、A_n，如图，根据切线的性质得C₁A₁⊥OA₁，C₂A₂⊥OA₂，C₃A₃⊥OA，…，C_nA_n⊥OA_n，再确定直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与x轴的正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC₁A₁中得到OC₁=2C₁A₁=2，在Rt△OC₂A₂中得到2+1+r₂=2r₂，解得r₂=3=3¹，在Rt△OC₃A₃中得到6+3+r₃=2r₃，解得r₃=9=3²，再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得r_n=3^n-1．

解答 解：过C₁、C₂、C₃、…、C_n作直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的垂线，垂足分别为A₁、A₂、A₃、A_n，如图，
∵a个半圆弧都与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相切，
∴C₁A₁⊥OA₁，C₂A₂⊥OA₂，C₃A₃⊥OA，…，C_nA_n⊥OA_n，
∵x=1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，…，
在Rt△OC₁A₁中，OC₁=2C₁A₁=2，
在Rt△OC₂A₂中，OC₂=2C₂A₂，则2+1+r₂=2r₂，解得r₂=3=3¹，
在Rt△OC₃A₃中，OC₃=2C₃A₃，则6+3+r₃=2r₃，解得r₃=9=3²，
在Rt△OC₄A₄中，OC₄=2C₄A₄，则18+9+r₄=2r₄，解得r₄=27=3³，
由此可得r_n=3^n-1．
∴r₂₀₁₅=3²⁰¹⁴，
故答案为：3²⁰¹⁴．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．