Question

如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆⊙O于D，过D作DE∥BC，交AC的延长线于E点．①则直线DE与⊙O的位置关系是

 

；②若AB=4，AD=6，CE=3，则DE=

 

．

Answer 1

分析：①连OD，根据内心的性质得到∠BAD=∠DAE，再根据圆周角的推论得到弧DB=弧DC，利用垂径定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，
即可得到OD⊥DE；
②连BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此
∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，则

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先计算出CD，再计算出DE．

解答：解：①连OD，如图，
∵点P为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
∵同弧或等弧所对的圆周角相等，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
而DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

②连BD，DC，如图，
则BD=DC，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，
而∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，
∴∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，
∴△CDE∽△BAD，
∴

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，
而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，
∴

DE

6

=

3

DC

=

DC

4

，
∴DC=2

3

，则DE=3

3

．
故答案为：相切；3

3

．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了平行线的性质和圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．