Question

如图，△ABC的外接圆为⊙O，D为

AB

的中点，E为AB的中点，若DE=1，∠C=45°，则⊙O的半径为（　　）

• A、2
• B、

  2

  +2
• C、2+

  2

  2

• D、3+

  2

Answer 1

分析：根据垂径定理的推论首先得出DO垂直平分AB于一点E，进而得出OE=EB，再利用勾股定理求出即可．

解答：解：连接EO，
∵D为

AB

的中点，E为AB的中点，
∴

AD

=

DB

，AE=BE，
∴DO垂直平分AB于一点E，（垂径定理的推论）
∵DE=1，∠C=45°，
∴∠DOB=45°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=EB，
设BO=x，则EO=EB=x-1，
在Rt△BOE中，
∴EO²+BE²=BO²，
∴2（x-1）²=x²，
整理得：x²-4x+2=0，
解得：x₁=2-

2

（小于1，不合题意舍去），x₂=2+

2

．
∴⊙O的半径为：2+

2

．
故选：B．

点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及圆周角定理的推论和勾股定理等知识，根据已知利用垂径定理的推论得出DO垂直平分AB于一点E是解题关键．