Question

如图，?ABCD中，A（0，3），C（6，0），∠DCB=45°，点P从点E（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t（秒）．

（1）D点坐标为

（3，3）

．
（2）当∠PAB=15°时，求点P的坐标．
（3）以点P为圆心，PA长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与?ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF⊥BC于点F，利用等腰直角三角形的性质以及A，C点坐标即可得出D点坐标；
（2）分别根据当P点在B点左侧，且∠PAB=15°时，当P点在B点右侧，且∠PAB=15°时，求出OP的长即可得出答案；
（3）①当⊙P与AB相切时，t=1，②当⊙P与AD相切时，t=4，③当⊙P与CD相切时，过P作PM⊥CD于点M，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠DCB=45°，
∴∠CDB=45°，
∴DB=FC，
∵A（0，3），C（6，0），
∴DB=FC=3，
∴AD=BO=3，此时F，B重合，
∴D（3，3）；
故答案为：（3，3）；

（2）当P点在B点左侧，且∠P′AB=15°时，
由题意可得：AO=BO=3，
∴∠OAB=45°，
∵∠P′AB=15°，
∴∠OAP′=30°，
∴tan30°=

OP′

AO

，
∴OP′=AO×

3

3

=

3

，
∴P′（

3

，0），
当P点在B点右侧，且∠P″AB=15°时，
由题意可得：AO=BO=3，
∴∠OAB=45°，
∵∠P″AB=15°，
∴∠OAP″=60°，
∴tan60°=

OP″

AO

=

3

，
∴OP″=3

3

，
∴P″（3

3

，0），
综上所述：P′（

3

，0）或P″（3

3

，0）；

（3）①当⊙P与AB相切时，此时PA=AB=3

2

，则PE=1，故t=1，
②当⊙P与AD相切时，此时P与O重合，则t=4，
③如图备用图：当⊙P与CD相切时，过P作PM⊥CD于点M，
PA²=3²+（t-4）²，
PM²=[

2

2

（10-t）]²，
则：3²+（t-4）²=

1

2

（10-t）²，
解得：t=-2±3

6

（负值舍去），
∴t=3

6

-2．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和切线的判定与性质等知识，根据题意利用分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．