题目内容
【题目】已知：
为
的直径，
,
为
上一动点（不与
、
重合）.
（1）如图1，若
平分
，连接
交于点
.①求证：
；②若
，求
的长；
（2）如图2，若绕点顺时针旋转
得
，连接
.求证：为的切线.
【答案】（1）①见解析，②2；（2）见解析
【解析】
（1）①先根据圆周角定理得出
，再得出
，再根据角平分线的定义得出
，最后根据三角形外角定理即可求证；②取
中点
，连接
，可得是中位线，根据平行线的性质得
，然后根据等腰三角形的性质得出
，最后再根据中位线的性质得出
；
（2）
上截取
，连接
，由题意先得出
，再得出
，然后由旋转性质得
、
，再根据同角的补角相等得出
，然后证的
，最后得出
即可证明.
解：（1）①证明：
为
的直径，
.
，
，
.
.
平分
，
.
，
，
.
；
②解法一：如图，取中点，连接，
为
的中点，
，
.
.
，
，
.
.
；
解法二：如图，作
，垂足为
，
平分，
，
.
.
.
.
.
.
.
在
中，
.
；
解法三：如图，作
，垂足为
，
设
平分，，
.
∴
∴
，即
∴
解得：
∴
（2）证明（法一）：如图，在上截取，连接.
，
.
.
.
.
由旋转性质得，，.
，
.
.（
没写不扣分）
.
.
.
为的切线．
证法二：如图，延长
到
，使
.
由旋转性质得，，.
.
，
.
.（没写不扣分）
，
.
，
.
.
.
.
.
.
.
为的切线．
证法三：作
交
延长线于点
.（余下略）
由旋转性质得，，
∴
，
∴.
∵
∴
∴
、
∴
∴
∴
∴
∵为的直径，
∴
∴
∴
∴
.
∴
为的切线．
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