Question

（2013•宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为

2

．函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（4）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；设点M为线段EF的中点，试写出点M的运动轨迹，并直接写出点M运动轨迹的长度．

Answer 1

分析：（1）利用一次函数与坐标轴交点求法得出A，B坐标，进而得出∠COG=45°，∠AOD=45°，即可得出答案；
（2）利用①当OP=OA时，②当OP=PA时，③当AP=AO时分别得出P点坐标；
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（4）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围，再利用点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），

2

为半径的一段圆弧，得出答案即可．

解答：解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；

（2）要使△POA为等腰三角形．
①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，
所以点P的坐标为（1，1），
③当AP=AO时，则AP=2，
过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，则PH=AH=

2

，
∴OH=2-

2

，
∴点P的坐标为（2-

2

，

2

）；

（3）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），
可得：CO=2

2

．
∵sin∠COK=

CK

CO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；

（4）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以

CO

PO

=

MO

DO

，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，
∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，
即MO•PO=4，也满足st=4．
∴s=

4

t

，
∵OP最小值为

2

，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，
∴PO=

2

cos30°

=

2 6

3

，
∴t的取值范围是：

2

≤t＜

2 6

3

，
由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），

2

为半径的一段圆弧，
 可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°
 弧GQK为实际运动路径，弧长=

2 2

3

π．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和切线的性质定理和弧长公式的应用等知识，利用数形结合分类讨论思想得出是解题关键．