Question

【题目】如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，有最小值，最小值；②存在．满足条件的的值为或．

【解析】

由翻折可知：，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
证明∽，可得，由此即可解决问题．
有两种情形：如图中，当时如图中，当时，作于分别求解即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，设，则．

在中，，

∴，

在中，则有：，

∴，

∴．

（2）①如图2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

当时，有最小值，最小值．

②存在．有两种情形：如图3-1中，当时，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如图3-2中，当时，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

综上所述，满足条件的的值为或．