题目内容
直角三角形ABC中，直角边AB上有一点M，斜边BC上有一点P，已知MP⊥BC，△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米，那么直角三角形ABC的面积是分析：由已知条件易知∠BPM=∠BAC=90°，结合∠B时公共角，易证△MBP∽△CBA，而已知△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，那么S△MBP：S△CBA=1：3，于是
=
=
=1：
，利用比例计算可求AB、BM，在△BPM中，利用勾股定理可求PM，从而可求PM，于是就可求S△BPM，也就易求S△ABC．
| BP |
| AB |
| PM |
| AC |
| BM |
| BC |
| 3 |
解答：解：∵MP⊥BC，△ABC是直角三角形，
∴∠BPM=∠BAC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△MBP∽△CBA，
又∵△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，
∴S△MBP：S△CBA=1：3，
∴
=
=
=1：
，
∴AB=2
，BM=
，
∴PM=
=
，
∴S△BPM=
BP•PM=
，
∴S△ABC=
．
∴∠BPM=∠BAC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△MBP∽△CBA，
又∵△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，
∴S△MBP：S△CBA=1：3，
∴
| BP |
| AB |
| PM |
| AC |
| BM |
| BC |
| 3 |
∴AB=2
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
∴PM=
| BM2-BP2 |
| 1 |
| 3 |
| 39 |
∴S△BPM=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
∴S△ABC=
| 39 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、比例的计算、三角形面积的计算．相似三角形面积比等于相似比的平方．
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