Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N。

（1）求⊙M的半径。
（2）求线段AC的长。
（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线。

Answer 1

解：（1）∵OA=4
∴A（4，0）
又OA·OB长是x²-mx+12=0的两根
∴OA·OB=1
2∴OB=3
故B（0，3）
∵OB为直径
∴半径MB=；

（2）连接OC
∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC
∴OC·AB=OA·OB
∵AB==5
∴OC·5=3·4
∴OC=
∴AC==。

（3）∵OM=OC
∴∠MOC=∠MCO
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC
∴CD是⊙M的切线。