Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、（左右），交轴于点，直线交轴于点，连接，．

（1）求、的值；

（2）点是第三象限抛物线上的任意一点，设点的横坐标为，连接、，若的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接、，当平分时，以线段为边，在上方作等边，过点作于点，过点作交于点，连接，求的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）S＝；（3）

【解析】

（1）抛物线是交点式，可直接读出A、B两点的坐标，根据可推导出，从而得出、的值；

（2）设点，根据BP的解析式，可得点Q的坐标，在利用可求得；

（3）如下图，根据可得出t的值，然后利用角度转化，证明是等边三角形，从而证，进而得出EK的值．

解：（1）∵，∴，．∴，．

∵，∴，∴．∴．

在上取，连接，∴．

∴．∴．

∴．∴．

∵过点，∴．

∵过点，∴．

（2）∵点是抛物线上一点，且横坐标为，∴．

∵，∴易得直线的解析式为．

∴．设交轴于点，

∵，∴．

过点作轴于点，∴．

∴

．

（3）由（2）知，，，，∴

∵平分，∴．

∴．∴，

即，解得（舍去），．∴．

如图，过点作轴于点

∴，．∴．

∴，．

∵，∴在中，．∴．

∵是等边三角形，∴，．

∵，∴．

∵，∴．∴．

∵，∴．

∴

∴是等边三角形．∴．

∵，∴．∴．