Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．

Answer 1

       （1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵=，

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE且⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵tan∠CBA=，

∴∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．