Question

已知：如图，AD∥OB，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作直线MN，分别交AD、OB于点M和N，且MP=NP．
求证：点P到AO和AD的距离相等．

Answer 1

分析：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，PG⊥AD于点G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PF，根据两直线平行，内错角相等可得∠PNE=∠PMG，然后利用“角角边”证明△PEN和△PGM全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=PG，从而得到PF=PG．

解答：证明：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，PG⊥AD于点G，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，
∴PE=PF，
∵AD∥OB，
∴∠PNE=∠PMG，
在△PEN和△PGM中，

∠PNE=∠PMG ∠PEN=∠PGM=90° PM=PN

，
∴△PEN≌△PGM（AAS），
∴PE=PG，
∴PF=PG，
即点P到AO和AD的距离相等．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．