Question

【题目】如图，为的外接圆上的一动点(点不在上，且不与点、重合)，.

(1)求证:是该外接圆的直径;

(2)连接，求证:涯;

(3)若关于直线的对称图形为，连接，试探究、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；

（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．

解： (1) (1)∵ ，

∴∠ACB=∠ADB=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠BAD=90°，

∴BD是△ABD外接圆的直径；

(2)在的延长线上截取，连接

因为

所以

因为，

所以

在与中，

所以

所以

所以

即

因为

所以

所以是等腰直角三角形

所以

所以

(3)过点作于点，过点作于点，与交于点，连接

由对称性可知

所以

所以是等腰直角三角形

所以

因为

所以

在与中，

所以

所以

在中，因为

所以