Question

15、当n取正整数的时候，比较2ⁿ与n²的大小情况，结论应该是

n=2或4时，2ⁿ=n²；n=3时，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整数时，都有2ⁿ＞n²

．

Answer 1

分析：此题应从特例入手，当n=1，2，3，4，5，6，…时探求2ⁿ与n²的大小关系，也可以从y=2^x与y=x²的图象（x＞0）的变化趋势猜测2ⁿ与n²的大小关系．

解答：解：当n=1时，2¹＞1²，即2ⁿ＞n²；
当n=2时，2²=2²，即2ⁿ=n²；
当n=3时，2³＜3²，即2ⁿ＜n²；
当n=4时，2⁴=4²，即2ⁿ=n²；
当n=5时，2⁵＞5²，即2ⁿ＞n²；
当n=6时，2⁶＞6²；
…
猜测当n≥5时，2ⁿ＞n²；
下面我们用数学归纳法证明猜测成立，
（1）当n=5时，由以上可知猜测成立，
（2）设n=k（k≥5）时，命题成立，即2^k＞k²，
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2k²=k²+k²＞k²+（2k+1）=（k+1）²，即n=k+1时，命题成立，
由（1）和（2）可得n≥5时，2ⁿ与n²的大小关系为：2ⁿ＞n²；
故答案为：n=2或4时，2ⁿ=n²；n=3时，2ⁿ＜n²；n=1及n取大于4的正整数时，都有2ⁿ＞n²．

点评：此题考查的知识点是整数问题的综合应用，解答此题的关键是从特例入手，猜测探究然后用数学归纳法证明猜测成立．