Question

（2013•思明区一模）如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁、x₂均为正数，且满足1＜

x1

x2

＜2（其中x₁＞x₂），那么称这个方程有“邻近根”．
（1）判断方程x2-(

3

+1)x+

3

=0是否有“邻近根”，并说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“邻近根”，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先解方程x2-(

3

+1)x+

3

=0得到x₁=

3

，x₂=1，则满足1＜

x1

x2

＜2，所以可判断方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“邻近根”；
（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，利用求根公式解得x₁=1，x2=-

1

m

或x1=-

1

m

，x₂=1，则m＜0，然后讨论：
若x₁=1，x2=-

1

m

，则

x1

x2

=

1

- 1 m

=-m，

x1

x2

是关于m的正比例函数，根据正比例函数性质得到-2＜m＜-1；
若x1=-

1

m

，x₂=1，则

x1

x2

=-

1

m

，

x1

x2

是关于m的反比例函数，根据反比例函数性质得-1＜m＜-

1

2

，最后综合得到m的取值范围．

解答：解：（1）方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“邻近根”．理由如下：
∵x2-(

3

+1)x+

3

=0，
∴（x-1）（x-

3

）=0，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=

3

，x₂=1，
这时x₁＞0，x₂＞0，且

x1

x2

=

3

，
∵1＜

3

＜2，
∴满足1＜

x1

x2

＜2，
∴方程x2-(

3

+1)x+

3

=0有“邻近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，
∴x=

(m-1)± (m+1)2

2m

∴x₁=1，x2=-

1

m

或x1=-

1

m

，x₂=1，
∵一元二次方程ax²+bx+c=0有“邻近根”，
∴x₁、x₂均为正数，
∴m＜0
若x₁=1，x2=-

1

m

，则

x1

x2

=

1

- 1 m

=-m，

x1

x2

是关于m的正比例函数，
∵-1＜0，
∴

x1

x2

随m的增大而减小．
当1＜-m＜2时，
∴-2＜m＜-1；
若x1=-

1

m

，x₂=1，则

x1

x2

=-

1

m

，

x1

x2

是关于m的反比例函数，
∵-1＜0，
∴在第二象限，

x1

x2

随m的增大而增大．
当1＜-

1

m

＜2时，
∴-1＜m＜-

1

2

．…（9分）
综上，m的取值范围是-2＜m＜-1或-1＜m＜-

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．