Question

（2013•泸州）如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（3）CD+CE=

2

OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．

解答：解：
结论（1）错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，

∠OAD=∠OCE=45° OA=OC ∠AOD=∠COE

∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=

2

OA．
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴

OE

OC

=

OP

OE

，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
综上所述，正确的结论有3个，故选C．

点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．