Question

已知抛物线上有不同的两点E和F．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

　　

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴为．　
∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，
∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2．
∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴　∠BCM＝∠AMD．
故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　，即　，．
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　
（3）∵　F在上，
　　 ∴　，
　　化简得，，∴　k₁＝1，k₂＝3．　　　　
　　即F₁（－2，0）或F₂（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　
　　①MF过M（2，2）和F₁（－2，0），设MF为，
　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为．
　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．
　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；
　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　
　　②MF过M（2，2）和F₁（－4，－8），设MF为，
　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为．
　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．
　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；
　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　
　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．