Question

如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

(1)如下图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，请在边AB上作出C，D两点的所有勾股点(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(2)如下图，矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝4 cm，DM＝8 cm，AN＝5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t(s) ，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．

①当t＝4、t＝5时，直接写出点H的个数．

②探究满足条件的点H的个数(直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)略　4分 　　(2)①当t＝4时，有3个勾股点；当t＝5时，有2个勾股点；　6分 　　②当0≤t＜4时，有2个勾股点； 　　当t＝4时，有3个勾股点； 　　当4＜t＜5时，有4个勾股点； 　　当t＝5时，有2个勾股点； 　　当5＜t＜8时，有4个勾股点； 　　当t＝8时，有2个勾股点．　10分 　　(除①的情况，其余每种1分) 　　综上所述，当0≤t＜4或t＝5或t＝8时，有2个勾股点；当t＝4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．