Question

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为（3,0）顶点P的坐标为（1，-4），以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C.

【小题1】求抛物线的解析式
【小题2】请通过计算判断抛物线是否经过点C；
【小题3】设M，N 分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标.

Answer 1

【小题1】设抛物线的解析式为 把h=1，k=-4，x=3，y=0带入，解得a=1……1分  ∴抛物线的解析式为： 即：……2分
【小题2】作抛物线的对称轴    把y=0代入   解得 x₁=-1，x₂=3
∴A 点坐标为（-1，0） ∴AB=|3-(-1)|=4  ∴OD=2-1=1 ∴D点坐标为（1，0）……1分
而抛物线的对称轴为直线x=1   ∴点D在直线x=1上
过点C作CE⊥PD,CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结DC  
∵PC是⊙D的切线  ∴PC⊥DC
在Rt△PCD中   ∵cos∠PDC==   ∴∠PDC=60°∴DE=1，CE=
∴C点坐标为（，－1）……2分
把x=带入得：y="-1" ……1分  ∴点C在抛物线上……1分
【小题3】N（0，），N（，0）……4分（每个2分）解析:
（1）把有关数据代入函数解析式，待定系数法即可求得抛物线解析式。
（2）根据三角函数计算出点C坐标为（，－1），代入已求出的解析式，即可判断点是否在抛物线上。