Question

如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连接PB和PD得到△PBD．求：
（1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
（2）△PBD的周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）当P为AC的中点时，BP⊥AC，BP=

3

2

a，DP为中位线，DP=

1

2

a，BD=

1

2

a，即可求△PBD的周长；
（2）作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．

解答：解：（1）BP=

3

2

a，DP=

1

2

a，BD=

1

2

a，
即△PBD的周长为BP+DP+BD=(

3

2

+1)a．

（2）如图2，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以BD=

1

2

a，BE=2

a2-( 1 2 a)2

=

3

a．
因为∠DBF=30°，所以DF=

1

2

BD=

1

4

a，BF=

BD2-DF2

=

3

4

a，EF=BE-BF=

3 3

4

a，DE=

DF2+EF2

=

7

2

a．
所以△PBD的周长的最小值是

1

2

a+

7

2

a=

1+ 7

2

a．

点评：本题考查了勾股定理的灵活运用，解本题的关键是作出恰当的图形，并且根据勾股定理求各边长．