题目内容

如图，直线y= $数学公式$ x+b与y轴交于点A，与x轴交于点D，与双曲线 $数学公式$ 在第一象限交于B、C两点，且AB•BD=4，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：过B作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，令直线方程中x=0，求出y的值，即为点A的纵坐标，得出OA的长，令y=0求出x的值，即为D的横坐标，确定出OD的长，由FB与OD平行，利用平行线得比例列出比例式，根据OA：OD的比值，得出AF：FB的比值，设B的坐标为（m，n），可得出FB=m，根据比例表示出AF的长，在直角三角形AFB中，利用勾股定理表示出AB的平方，由OD-OE=ED，表示出ED，BE即为B的纵坐标n，在直角三角形BED中，根据勾股定理表示出BD的平方，再把B的坐标代入直线方程，表示出2b-m=2n，即为DE的长，代入BD的平方，整理后开方求出AB•BD的值，代入已知AB•BD=4中，求出mn的值，又B在反比例函数图象上，可得出k=mn，由mn的值可得出k的值．
解答：过B分别作x轴和y轴的垂线，E，F分别为垂足，如图，

对于y=- $\text{[math]}$ x+b，令x=0，y=b；令y=0，x=2b，
∴A（0，b），D（2b，0），即OA=b，OD=2b，
∵BF∥OD，
∴AF：OA=BF：OD，又OA：OD=1：2，
∴AF：BF=1：2，
设B（m，n），m＞0，n＞0，则AF= $\text{[math]}$ m，BF=m，
∴在Rt△AFB中，根据勾股定理得：AB²=AF²+BF²= $\text{[math]}$ m²，
在Rt△BED中，BE=n，DE=OD-OE=OD-FB=2b-m，
根据勾股定理得：BD²=BE²+DE²=n²+（2b-m）²，
而B点在直线y=- $\text{[math]}$ x+b上，
∴n=- $\text{[math]}$ m+b，即2b-m=2n，
∴BD²=n²+4n²=5n²，
又AB•BD=4，且m＞0，n＞0，
∴ $\text{[math]}$ m²•5n²=16，即m•n= $\text{[math]}$ ，
∵点B在双曲线 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k=m•n= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：平行线的性质，勾股定理，代数式的变形，线段长度与坐标的关系，以及一次函数与坐标轴的交点，其中作出辅助线BE、BF是本题的突破点．