Question

如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AD于E，连BE，．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若AE=6，⊙O的半径为5，求tan∠BEC的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC、BD，它们相交于F点，如图，
∵，
∴OC⊥BD，FD=FB
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AE∥OC，
∵CE⊥AD，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；

（2）解：设ED=x，则AD=6-x，
∵∠DEC=∠EDC=∠DFC=90°，
∴四边形EDFC为矩形，
∴CF=DE=x，
∴OF=OC-CF=5-x，
∵OF为△ABD的中位线，
∴AD=2OF，即6-x=2（5-x），解得x=4，
∴OF=1，DE=4，
在Rt△OBF中，BF==2，
∴BD=2BF=4，
∴tan∠DBE===，
∵EC∥DB，
∴∠DBE=∠BEC，
∴tan∠BEC=．
分析：（1）连接OC、BD，它们相交于F点，根据垂径定理的推论由得到OC⊥BD，FD=FB，根据圆周角定理由AB为直径得到∠ADB=90°，则AE∥OC，而CE⊥AD，所以OC⊥CE，于是根据切线的判定定理即可得到CE为⊙O的切线；
（2）设ED=x，则AD=6-x，则CF=DE=x，可得到OF=OC-CF=5-x，于是利用OF为△ABD的中位线得到6-x=2（5-x），解得x=4，则OF=1，DE=4，接着利用勾股定理计算出BF=2，则BD=4，根据正切的定义得到tan∠DBE==，由于EC∥DB，所以∠DBE=∠BEC，于是有tan∠BEC=．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理以及垂径定理的推论．