Question

已知抛物线（>0）与轴交于、两点．

（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；

（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与轴交于点，若D是直角三角形，求D的面积．

Answer 1

（1）证明：∵>0   ∴        （1分）

     ∴抛物线的对称轴在轴的左侧                （2分）

（2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），

则， ，  ∴与异号     （3分）

又    ∴  由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧

∴，  ∴,                 （4分）

代入得：

即，从而，解得：                （5分）

∴抛物线的解析式是                            （6分）

（3）[解法一]：当时，   ∴抛物线与轴交点坐标为（0，）

∵D是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB

∴∠CAB= 90°— ∠ABC，∠BCO= 90°— ∠ABC

∴∠CAB =∠BCO

∴Rt△AOC∽Rt△COB，                                        （7分）

∴，即   ∴

 即  解得：                             （8分）

此时=  ，∴点的坐标为（0，—1）∴OC=1

又   （9分）

∵>0，∴  即AB= ∴D的面积=×AB×OC=´´1=（10分）

[解法二]：略解: 当时，  ∴点（0，）

∵D是直角三角形  ∴                        （7分）

∴                         （8分）

∴   ∴        解得：   （9分）

∴   （10分）