Question

已知：△ABC是任意三角形．

⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．

⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂是边BC的三等分点，你认为∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正确？请说明你的理由．

⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂、……、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，则∠MP₁N+∠MP₂N+……+∠MP₂₀₀₉N=____________．

（请直接将该小问的答案写在横线上．）

Answer 1

⑴证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，

　　 　 ∴线段MP、PN是△ABC的中位线，

∴MP∥AN，PN∥AM

　　 　　∴四边形AMPN是平行四边形，

　 　　 ∴∠MPN=∠A.　

⑵∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正确.　 如图所示，连接MN，　

∵，∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABC，

∴∠AMN=∠B，，

∴MN∥BC，MN=BC，　

∵点P₁、P₂是边BC的三等分点，

∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，MN与P₂C平行且相等，

∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四边形，

∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC，

∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，

∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A.

⑶∠A.