题目内容

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC⊥BD，AE⊥BC．
（1）求证：AE= $数学公式$ （AD+BC）；
（2）若AC=10cm，求等腰梯形ABCD的面积．

（1）证明：过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，过点D作DH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD，DF=AC，
∵AC⊥BD，AE⊥BC，
∴DH=AE，DF⊥BD，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∴DH= $\text{[math]}$ BF= $\text{[math]}$ （BC+CF）= $\text{[math]}$ （AD+BC），
∴AE= $\text{[math]}$ （AD+BC）；

（2）解：∵AC=10cm，
∴BD=DF=10cm，
在Rt△BDF中，BF= $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ （cm），
∴AD+BC=BF=10 $\text{[math]}$ cm，
∴AE= $\text{[math]}$ BF=5 $\text{[math]}$ （cm），
∴S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （AD+BC）•AE= $\text{[math]}$ ×10 $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ =50（cm²）．
分析：（1）首先过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，过点D作DH⊥BC于点H，易证得△BDF是等腰直角三角形，即可得AE=DH，BF=BC+AD，且DH= $\text{[math]}$ BF，则可证得AE= $\text{[math]}$ （AD+BC）；
（2）由（1），可求得AE的长，AD+BC的长，继而求得等腰梯形ABCD的面积．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．