Question

如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且，．

理解与作图：

（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）作图如下：

 

（2）解：在图2中，，

∴四边形EFGH的周长为．

在图3中，，．

∴四边形EFGH的周长为．

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．

（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．

∵，，

∴．

而，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．

同理：，．

∴．

∵，，

∴．    ∴．

过点G作GK⊥BC于K，则．

∴．

∴四边形EFGH的周长为．

证法二：∵，，    ∴．

而，    ∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．

∵，，

而，   ∴．

∴HE∥GF．    同理：GH∥EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．

∴．     而，

∴Rt△FDG≌Rt△HBE．     ∴．

过点G作GK⊥BC于K，则．

∴．

∴四边形EFGH的周长为．