Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直线y=x+1与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m，且-1＜m＜3，设△ADP的面积为S，求S的最大值及对应的m值；
（3）点M是直线AD上一动点，直接写出使△ACM为等腰三角形的点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，求出即可；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用函数图象上点的性质得出PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，进而求出
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ=-2m²+4m+6，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）根据平面内两点之间的距离公式以及点M在函数图象上的性质分别分析得出即可．

解答：解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 c=4

，
解得

b=3 c=4

，
∴此抛物线解析式为：y=-x²+3x+4．

（2）由题意得：

y=x+1 y=-x2+3x+4

，
解得：

x1=-1 y1=0

，

x2=3 y2=4

，
∴点D的坐标为（3，4），
过点P作PQ∥y轴，交直线AD与点Q，
∵点P的横坐标是m，
又点P在抛物线y=-x²+3x+4
∴P的纵坐标是-m²+3m+4，点Q的横坐标也是m，
∵点Q在直线y=x+1上，
∴Q的纵坐标是m+1，
∴PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ，
=

1

2

(-m2+2m+3)[m-(-1)]+

1

2

(-m2+2m+3)(3-m)，
=

1

2

(-m2+2m+3)×4，
=-2m²+4m+6，
=-2（m-1）²+8，
当m=1，△ADP的面积S的最大值为8．

（3）M1(

34

2

-1，

34

2

)，M2(-

34

2

-1，-

34

2

)，M3(4，5)，M4(

7

10

，

17

10

)．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法和平面内两点之间的距离求法等知识，二次函数这部分经常利用数形结合以及分类讨论思想相结合，综合性较强注意不要漏解．