题目内容
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=| m | x |
（1）利用图中条件，求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象写出使该一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围；
（3）过B点作BH垂直于x轴垂足为H，连接OB，在x轴是否存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似？若存在，直接写出点P的坐标；不存在，说明理由．
分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）在x轴存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似，分三种情况当△OBH≌△P1BH时；当△OBH∽△BP2H时；当△OBH∽△BP3H时，考虑，分别求出此时P的坐标即可．
（2）由A与B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）在x轴存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似，分三种情况当△OBH≌△P1BH时；当△OBH∽△BP2H时；当△OBH∽△BP3H时，考虑，分别求出此时P的坐标即可．
解答：
解：（1）将A（-2，1）代入反比例解析式得：1=
，即m=-2，
∴反比例解析式为y=-
；
将A（-2，1），B（1，-2）代入y=kx+b中得：
，
解得：
，
∴一次函数解析式为y=-x-1；
（2）根据图象得：一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围-2＜x＜0或x＞1；
（3）存在，如图所示：
当△OBH≌△P1BH时，P1H=OH=1，即OP1=2，P1（2，0）；
当△OBH∽△BP2H时，得到
=
，即HP2=
=
=4，即OP2=OH+HP2=1+4=5，P2（5，0）；
当△OBH∽△BP3H时，得到
=
，即HP3=
=
=4，即OP3=P3H-OH=4-1=3，P3（-3，0），
综上，满足题意P的坐标为（2，0）或（5，0）或（-3，0）．
解：（1）将A（-2，1）代入反比例解析式得：1=| m |
| -2 |
∴反比例解析式为y=-
| 2 |
| x |
将A（-2，1），B（1，-2）代入y=kx+b中得：
|
解得：
|
∴一次函数解析式为y=-x-1；
（2）根据图象得：一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围-2＜x＜0或x＞1；
（3）存在，如图所示：
当△OBH≌△P1BH时，P1H=OH=1，即OP1=2，P1（2，0）；
当△OBH∽△BP2H时，得到
| BH |
| OH |
| HP2 |
| HB |
| BH2 |
| OH |
| 4 |
| 1 |
当△OBH∽△BP3H时，得到
| BH |
| OH |
| HP3 |
| BH |
| BH2 |
| OH |
| 4 |
| 1 |
综上，满足题意P的坐标为（2，0）或（5，0）或（-3，0）．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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| x |
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