Question

在平面直角坐标系xoy中，以点A（3，0）为圆心，5为半径的圆与x轴相交于点B、C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D、M（点D在点M的下方）．
（1）求以直线x=3为对称轴，且经过D、C两点的抛物线的解析式；
（2）若E为直线x=3上的任一点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点A的坐标求出B、C的坐标，再根据勾股定理求出D的坐标，设出抛物线的解析式，由待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）根据平行四边形的性质从两种情况进行解答，当BC为平行四边形的一边时，必有 EF∥BC，且EF=BC=10．设出F的坐标，代入抛物线的解析式，可以求出符合条件的点F有两个如（图1）；当BC为平行四边形的对角线时，有AE=AF，如（图2）．根据抛物线的对称性就可以求出点F的坐标．

解答：解：（1）如图，∵圆以点A（3，0）为圆心，5为半径，
∴根据圆的对称性可知 B（-2，0），C（8，0）．
连接AD．
在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，
∴OD=4．
∴点D的坐标为（0，-4）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx-4，
又∵抛物线经过点C（8，0），且对称轴为x=3，
∴

- b 2a =3 64a+8b-4=0.

解得  

a= 1 4 b=- 3 2 .

∴所求的抛物线的解析式为 y=

1

4

x2-

3

2

x-4．

（2）存在符合条件的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
分两种情况．
Ⅰ：当BC为平行四边形的一边时，
必有 EF∥BC，且EF=BC=10．
∴由抛物线的对称性可知，
存在平行四边形BCEF₁和平行四边形CBEF₂．如（图1）．
∵E点在抛物线的对称轴上，∴设点E为（3，e），且e＞0．
则F₁（-7，t），F₂（13，t）．
将点F₁、F₂分别代入抛物线的解析式，解得 t=

75

4

．
∴F点的坐标为F1(-7，

75

4

)或F2(13，

75

4

)．
Ⅱ：当BC为平行四边形的对角线时，
必有AE=AF，如（图2）．
∵点F在抛物线上，∴点F必为抛物线的顶点．
由y=

1

4

x2-

3

2

x-4=

1

4

(x-3)2-

25

4

，
知抛物线的顶点坐标是（3，-

25

4

）．
∴此时F点的坐标为F3(3，-

25

4

)．
∴在抛物线上存在点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
满足条件的点F的坐标分别为：F1(-7，

75

4

)，F2(13，

75

4

)，F3(3，-

25

4

)．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定及性质，勾股定理的运用．