题目内容

（2013•道外区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10分别交x轴、y轴于A、B两点，过点N（8，4）的直线分别交x轴、y轴于C、D，CD⊥AB．
（1）求直线CD解析式．
（2）把△AOB沿x轴正方向平移得到△EFG，当点E平移到点C处停止移动，设移动的路程为m，直线CD在EFG内所截得的线段长为L，求L与m的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若四边形DEFN为梯形，求梯形DEFN的面积．
分析：（1）由题意可得A（-5，O），B（0，10），作NH⊥OC，根据三角函数可得C（16，0），再根据待定系数法可求直线CD的解析式为y=-
1
2
x+8；
（2）由题意可知AE=OF=m，CE=21-m，CF=16-m，根据三角函数可知CP=
2
5
5
CE=
2
5
5
（21-m），CQ=
5
2
CF=
5
2
（16-m）．再分①当0＜m≤16；②当16＜m＜21；讨论可求L与m的函数关系式；
（3）直线DN、直线EF交于点C，当四边形DEFN为梯形时，则有NF∥DE，根据平行线的性质可得m的值，再根据S梯形DEFN=S△DOC-S△DOE-S△NFC，可求梯形DEFN的面积．
解答：（1）解：由题意可得A（-5，O），B（0，10）
∴tan∠ABO=
1
2
，
∵CD⊥AB，
∴∠ABO=∠DCO，
∴tan∠DCO=
1
2
，
作NH⊥OC．
∴tan∠DCO=
NH
HC
=
1
2
，
∵N（8，4），
∴NH=4，OH=8，HC=8，
∴OC=16，
∴C（16，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
8k+b=4
16k+b=0
，
解得
k=-
1
2
b=8
．
∴直线CD的解析式为y=-
1
2
x+8；

（2）解：由题意可知AE=OF=m
CE=21-m，CF=16-m
∵tan∠DCO=
1
2
，
∴CP=
2
5
5
CE=
2
5
5
（21-m），
CQ=
5
2
CF=
5
2
（16-m）．
①当0＜m≤16（如图2）
L=PQ=CP-CQ=
2
5
5
（21-m）-
5
2
（16-m）=
5
10
m+
2
5
5
；
②当16＜m＜21（如图3）
L=CP=
42
5
5
-
2
5
5
m；

（3）解：∵直线DN、直线EF交于点C
当四边形DEFN为梯形时，则有NF∥DE
∴
CN
CD
=
CF
CE
，
∵CN=4
5
，CD=8
5
，
∴
4
5
8
5
=
16-m
21-m
，
解得m=11，
∵S梯形DEFN=S△DOC-S△DOE-S△NFC
∴S=64-24-10=30，
∴若四边形DEFN为梯形，则梯形DEFN的面积为30．
点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：三角函数，待定系数法，梯形的性质，平行线的性质，面积的计算，以及分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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