题目内容

如图（1），AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线AT上的一个动点（P与A不重合），PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连接BC并延长BC交AT于点D，连接PB交CE于F．
（1）请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；
（2）请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；
（3）设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF= $数学公式$ R时，求∠APC的度数，并在图（2）中作出点P．（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

解：（1）如图，连接AC，
∵AT⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AT是⊙O的切线
又PC是⊙O的切线
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA；

（2）由（1）知PD=PA
∴△ABD被PB分成面积相等的两个三角形
∵AT⊥AB，CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP
所以CF：PD=EF：PA
所以CF=EF
可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；

（3）由（1）知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R
由（2）知，CF=EF，而CF= $\text{[math]}$ R
∴EF= $\text{[math]}$ PA
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵EF∥AT
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

∴CE= $\text{[math]}$ BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE= $\text{[math]}$
∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等边三角形
∴∠APC=60°
P点的作图方法见图．
分析：（1）连接AC，由AT，PC为⊙O的两条切线可得PA=PC，∠PAC=∠PCA，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，故∠PAC+∠ADC=∠PCA+∠PCD=90°，由此可以得到∠ADC=∠PCD，PC=PD=PA；
（2）由（1）知PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形；由AT⊥AB，DE⊥AB可得CE∥AT，然后得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又PD=PA，所以可得CF=EF，所以△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；
（3）由PA=PD=PC，可知PA为△ACD的外接圆的半径，由（2）知CF=EF，EF= $\text{[math]}$ PA，再根据EF∥AT可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可得CE= $\text{[math]}$ BE，在Rt△ACE中，可求出∠CAE=30°，又∵AT⊥AB，可得∠PAC=60°，△PAC为等边三角形，所以得到∠APC=60°．
点评：本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定，三角函数等知识点，在解题时要注意数形结合．题目的难度比较大，综合性比较强．