Question

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的两个实数根，使得（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80成立，求其实数a的可能值．

Answer 1

分析：由于x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，然后把（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的两个实数根，a=1，b=（3a-1），c=2a²，
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，
而（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，
∴3x₁²-10x₁x₂+3x₂²=-80，
3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3[-（3a-1）]²-16×2a²=-80，
∴27a²-18a+3-32a²=-80，
∴5a²+18a-83=0，
∴a=

-9±4 31

5

，
当a=

-9+4 31

5

时，方程x²+（3a-1）x+2a²=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=

-9-4 31

5

．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．