Question

如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．
（1）求证：AB=DN；
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若PC=5，CD=8，求线段MN的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中，

∠A=∠D AC=CD ∠ACB=∠NCD

，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）CP是⊙O的切线，理由为：
证明：连接OC，
∵CP是△CDN的边ND上的中线，∠NCD=90°，
∴PC=PN=

1

2

DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴CP是⊙O的切线；
（3）∵PC=5，
∴DN=2PC=10，
∵△ABC≌△DNC，
∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10，
∴CN=BC=

AB2-AC2

=6，
∴AN=AC-CN=2，
∵sinA=

MN

AN

=

BC

AB

，
∴

MN

2

=

6

10

∴MN=

6

5

．