Question

【题目】已知中，，，点、分别是轴和轴上的一动点．

(1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标；

(2)如图，交轴于，平分，若点的纵坐标为，，求点的坐标.

(3)如图，分别以、为直角边在第三、四象限作等腰直角和等腰直角，交轴于，若，求.

Answer 1

【答案】（1）B（0，-4）；（2）D（，0）；（3）12.

【解析】

（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90°，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，即可得出结论；

（2）作CM⊥y轴于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到B和C两点的坐标，然后求BC的解析式，与x轴的交点就是点D，即可求出点D坐标；

（3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出S△ABO =S△BEN，OB=NE=BF，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出S△NEM=S△BEM=S△BEN=S△ABO，即可得出答案．

解：（1）如图，作CM⊥y轴于M，则CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90°，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中，

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）；

（2）如图，作CM⊥y轴于M，

∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，∠OBA+∠BAO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△CMB和△BOA中，

∴△CMB≌△BOA（AAS），

∴CM=BO，AO=BM，

∵点C的纵坐标为，A（，0），

∴MO=，OA=BM=，

∴CM=BO=BM-MO=2，

∴C（-2，），B（0，-2），

设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：

∴

当y=0时，代入，

故点D的坐标为（，0）；

（3）如图，作EN⊥y轴于N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中，

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴S△ABO =S△BEN，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中，

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，

∴S△MEN=S△BEM=S△BEN=S△ABO，

∴S△ABO=2S△MEN=2×6=12．