Question

已知关于x的一元二次方程x²=（2k+1）x-k²+2有两个实数根为x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应k的值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等的实数根即可求出k的取值范围；
（2）根据方程根与系数的关系可得到y=x₁+x₂=2k+1，再根据k的取值范围即可求出k的最小值．

解答：解：（1）将原方程整理为x²-（2k+1）x+k²-2=0（1分）
∵原方程有两个实数根，
∴

△=[-(2k+1)]2-4×1×(k2-2) =4k+9≥0

（4分）
解得k≥-

9

4

；（6分）

（2）∵x₁，x₂为x²-（2k+1）x+k²-2=0的两根，
∴y=x₁+x₂=2k+1，且k≥-

9

4

（8分）
因而y随k的增大而增大，故当k=-

9

4

时，y有最小值-

7

2

．（10分）
故答案为：k≥-

9

4

，-

7

2

．

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，比较简单．